3D 모델링에서 객체의 부피를 정확하고 빠르게 계산하는 것은 중요한 과제입니다. 2018년, 발산 정리(Divergence Theorem)를 이용해 단순하고 닫힌 형태의 삼각형 분할 3D 메시(Mesh)의 부피를 터무니없이 빠르게 계산하는 방법이 제시되었습니다. 이 방법은 부피 적분을 메시 표면의 삼각형별 적분 합으로 변환하여, 모든 삼각형을 단 한 번만 순회하는 효율적인 계산법을 제공합니다.
핵심은 발산이 1인 특정 벡터장 F(x,y,z)=〈x,0,0〉을 선택하여 부피 적분(Volume Integral)을 표면 적분(Surface Integral)으로 바꾸는 것입니다. 이를 통해 각 삼각형의 두 변 벡터(Δ₁, Δ₂)와 꼭짓점의 x좌표를 활용한 폐쇄형 공식 V = 1/6 Σ (Δ₁×Δ₂)ₓ(T₀ₓ+T₁ₓ+T₂ₓ)이 도출됩니다. 이 공식은 삼각형당 덧셈 7회, 곱셈 3회만으로 부피를 계산하며, 전체 계산량은 삼각형 수(n)에 비례하는 O(n)의 시간 복잡도를 가집니다. 이는 약 11n 부동소수점 연산에 해당하며, 35달러짜리 라즈베리 파이(Raspberry Pi)에서도 초당 60프레임으로 약 3천만 개의 삼각형 부피를 실시간으로 계산할 수 있을 정도로 효율적입니다.
이러한 효율적인 부피 계산법은 3D 모델링, 컴퓨터 그래픽스, 게임 개발, 시뮬레이션 등 다양한 분야에 큰 영향을 미칠 수 있습니다. 특히 물리 엔진에서 강체의 관성 모멘트(Moment of Inertia)를 계산하거나, 3D 프린팅을 위한 모델의 정확한 부피를 파악하는 데 유용하게 활용될 수 있습니다. 기존의 수치 적분이나 미분 방식과 달리, 이 알고리즘은 오직 삼각형 순회 루프 하나만으로 작동하여 연산 비용을 획기적으로 줄입니다. 이 방식은 이미 1970년대와 1980년대에 유사한 아이디어가 제시되었던 것으로 확인되었으며, 2차원 다각형의 넓이를 구하는 신발끈 공식(Shoelace Formula)의 3차원 확장판으로도 볼 수 있습니다. 이는 복잡한 벡터 미적분 없이도 기하학적 직관만으로 접근 가능한 아름다운 해법을 제시한다는 점에서 의미가 큽니다.