최근 발표된 연구 논문에서 딥오넷(DeepONet)의 효율성과 정확도를 혁신적으로 개선한 새로운 접근 방식이 제시되었습니다. 기존 딥오넷은 입력 함수를 고정된 이산점(discretization)을 통해 인코딩하는 방식이었지만, 이 연구는 '위상 딥오넷(Topological DeepONet)' 프레임워크를 기반으로 연속 선형 함수를 활용하는 '고정 및 적응형 함수 측정 시스템(Fixed and Adaptive Functional Measurement Systems)'을 개발했습니다. 이는 복잡한 함수 공간에서도 더 유연하고 효율적인 데이터 인코딩을 가능하게 합니다.
새로운 시스템은 하우스도르프 국소 볼록 공간(Hausdorff locally convex space)의 연속 쌍대(continuous dual)에서 추출된 연속 선형 함수를 사용하여 점 샘플링을 대체합니다. 이는 단일 노름(norm)이 아닌 점 분리 반노름(seminorm) 집합으로 위상이 생성되는 공간에서 작동하며, 입력 함수의 본질적인 특성을 더 잘 포착할 수 있습니다. 연구팀은 이 프레임워크를 역도함수 연산자, 비노름화 국소 볼록 입력 공간, 이질적인 다르시(Darcy) 흐름, 제어된 연산자, 그리고 고정 시간 및 시간 진화 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 와도(vorticity) 연산자 등 다양한 문제에 적용하여 성능을 평가했습니다. 특히 이질적인 다르시 문제에서는 보지 못한 그리드에서도 5.5~5.6%의 거의 해상도 독립적인 오류를 유지했으며, 나비에-스토크스 문제에서는 적응형 위상 딥오넷이 1.685%의 평균 상대 L2 오류를 달성하여 기존 딥오넷 기반 모델 중 가장 정확한 결과를 보였습니다.
이러한 발전은 복잡한 물리 시스템 시뮬레이션 및 예측 분야에 중요한 의미를 가집니다. 기존 푸리에 신경망 연산자(FNO; Fourier Neural Operator)가 더 낮은 오류를 달성했지만, 이는 전체 64x64 입력 필드를 필요로 하고 훈련 시간이 두 배 길며, 피크 GPU 메모리가 10.7배 더 많이 필요했습니다. 반면, 적응형 위상 딥오넷은 128개의 함수 좌표만을 사용하여 유사한 정확도를 달성하면서도 훨씬 적은 계산 자원과 훈련 시간을 요구합니다. 이는 모델의 소형화, 해석 가능성, 그리고 이산화 독립적인 좌표 제공을 통해 다양한 공학 및 과학 분야에서 대규모 연산자 학습의 효율성을 크게 개선할 잠재력을 가지고 있습니다.